à la valeur propre an, laquelle est alors dite « non-dégénérée ». Les vecteurs {|an⟩} forment alors une base orthogonale de l’espace des états, ce qui permet de décom-poser n’importe quel état |Ψ⟩ du système de la façon suivante :

(1)

où est une notation représentant une somme sur l’entier n. L’expression (1) revêt une importance fondamentale. En effet, en raison de la structure de l’espace vectoriel 𝓗, il est possible de décomposer l’état |Ψ⟩ en une superposition d’états {|an ⟩} où les coefficients {|cn (t)} sont des nombres complexes qui indiquent le poids relatif de chaque état dans la décomposition – dite spectrale – de |Ψ (t)⟩. Cette capacité à combiner ou superposer plusieurs états, appelée principe de superposition, constitue l’une des propriétés les plus remarquables de la mécanique quantique, sans aucun équivalent classique17. Cette propriété constitue, notamment, l’un des fondements du calcul quantique, dont l’un des aspects clés est la possibilité de créer des états superposant deux qubits, comme dans l’état |u⟩ = c₀ |0⟩ + c₁ |1⟩. Une telle propriété est exclusivement propre à la mécanique quantique et à la structure linéaire qui la sous-tend. Il est également essentiel de noter que la décomposi-tion (1) n’est pas unique : il est possible de décomposer un état sur l’ensemble des états propres associés à différents opérateurs (correspondant à différentes grandeurs physiques).

Notons que l’identification de chaque poids ck(t) dans la décomposition (1) se fait en calculant le produit scalaire de |Ψ(t)⟩ avec le vecteur propre |ak⟩ de l’opéra-teur Â :

(2)

où nous avons utilisé l’orthogonalité des vecteurs {|an⟩}18. L’expression ci-dessus n’est rien d’autre que la généralisation, dans l’espace abstrait 𝓗, de la projection d’un vecteur de l’espace des réels sur les axes d’un repère orthonormé (voir la figure (1) qui illustre la projection d’un vecteur dans ℝ² sur un repère orthonormé), chaque coefficient ck représentant le « recouvrement » de l’état |Ψ(t)⟩ avec le vecteur de base |ak⟩.

Pour compléter cette discussion, il est intéressant d’envisager le cas d’une gran-deur dont le spectre de valeurs peut être continu, par exemple l’opérateur « posi-tion » 𝑥̂. On écrira, de façon analogue à (1) :

(3)

où la somme est remplacée par une intégrale avec, de façon analogue à (2) :

On retrouve ici, comme « coefficients » de la décomposition de |Ψ(t)⟩ sur la base des états de position {|x′⟩}, la fonction d’onde ψ(x, t) de l’« ancienne » mécanique quantique, au point x considéré.

Évolution temporelle : équation de Schrödinger

On suppose qu’à un instant donné t0, le système est décrit par le vecteur d’état |ψ0⟩. Si aucune mesure n’intervient entre les instants t0 et t, l’évolution temporelle du vecteur d’état du système est dictée par l’équation différentielle suivante, connue sous le nom d’équation de Schrödinger :