Page 62

(4)

où ℏ = h/2π, h étant la constante de Planck. L’opérateur Ĥ, appelé Hamiltonien, est associé à la grandeur énergie du système. Ainsi, l’interprétation physique de l’équation (4) est que le taux de variation temporelle du vecteur d’état est déterminé par l’action de l’opérateur Hamiltonien sur ce même vecteur d’état. L’équation de Schrödinger, assortie de la condition initiale |Ψ(t = 0)⟩ = |Ψ0⟩, per-met de déterminer complètement l’état du système à tout instant t.

Règle de Born

Tandis que, dans le formalisme de la mécanique quantique, un système est repré-senté par une entité abstraite, le vecteur d’état |Ψ(t)⟩, qui appartient à un espace de Hilbert 𝓗 et évolue dans le temps selon l’équation de Schrödinger (4), la règle – ou postulat – de Born établit la correspondance entre le contenu formel et le contenu opérationnel de la théorie :

La probabilité de trouver, lors d’une mesure de la grandeur physique A, effectuée sur l’état normalisé19 |Ψ(t)⟩, la valeur ak, est donnée par :

(5)

où désigne le carré du module du nombre complexe . Comme on le voit, n’est rien d’autre que le carré de l’amplitude de transi-tion entre les états |Ψ(t)⟩ et |ak⟩. Si l’on considère, par exemple, la grandeur continue position 𝑥̂, alors la probabilité de trouver le système sur un intervalle de taille dx centré en x, à l’instant t, est donnée par20 :

c_{k} (t)

d P (x) = | ⟨ x | Ψ (t) ⟩ | ²^{} d x = | Ψ (x, t) | ²^{} d x .

On entrevoit immédiatement, à partir de l’expression (5), la possibilité, au moins formelle, de reconstruire l’état |Ψ(t)⟩, c’est-à-dire de déterminer la totalité des coefficients {cn} de la décomposition (1)21. Cela nécessite tout d’abord de préparer un très grand nombre N de systèmes dans le même état |Ψ(t)⟩, puis de mesurer la grandeur A. Ces mesures fournissent un ensemble de résultats {an} associés aux nombres d’occurrences {Nn} et, par conséquent, à des fréquences d’apparition respectives {fn} = {Nn/N}. Ces fréquences statistiques sont alors assimilées aux probabilités {𝓟(an)}, et donc, via (5), aux carrés des modules des coefficients {cn}. On constate ainsi qu’en mécanique quantique, les prédictions étant de nature probabiliste, cela implique, en pratique, de considérer un ensemble statistique de systèmes conçus, on dit « préparés », identiquement.

Réduction du vecteur d’état

Le postulat de réduction du vecteur d’état spécifie la forme du vecteur d’état immé-diatement après la mesure ayant conduit au résultat ak pour la grandeur A, le vecteur d’état est projeté sur le vecteur propre |ak⟩ associé à la valeur propre ak :

P (a_{k}) = | ⟨ a_{k} | Ψ (t) ⟩ | ²^{} = | c_{k} (t) | ²^{}

P (a_{k})

{| c_{k} (t) |}^{2} = c_{k} (t) \bar{c_{k}} (t)

i ℏ \frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ = \hat{H} | Ψ (t) ⟩