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Grandeurs physiques compatibles

Parmi l’ensemble des grandeurs physiques mesurables, certaines jouent un rôle privilégié : ce sont celles qui sont dites compatibles entre elles. Physiquement, cela signifie que la mesure de l’une n’affecte pas le résultat de la mesure de l’autre (voir ci-dessous). Cette notion de compatibilité est cruciale, notamment dans les situations où la mesure d’une grandeur A ne conduit pas à la détermination d’un vecteur unique, mais plutôt à celle d’un sous-espace de l’espace de Hilbert. Ce cas correspond à celui d’une valeur propre ak dite « dégénérée ». Dans ce contexte, afin de spécifier complètement le vecteur d’état après la mesure de A, il est nécessaire de considérer une autre grandeur physique, B, compatible avec A. Cette compa-tibilité implique que l’ensemble {bm} des valeurs possibles de B, évaluées à partir du vecteur initial |Ψ(t)⟩, n’est pas affecté par la mesure préalable de la grandeur A, laquelle projette |Ψ(t)⟩ dans le sous-espace associé à la valeur propre ak de Â, généralisant ainsi l’idée de projection (6) :

où est le projecteur sur le sous-espace associé à la valeur propre ak.

L’existence de grandeurs physiques compatibles offre la possibilité de reconstruire complètement le vecteur d’état |Ψ(t)⟩ à partir des mesures des grandeurs A et B, quel que soit l’ordre dans lequel ces mesures sont effectuées. Cette propriété repose sur le fait que les opérateurs correspondants, Â et B̂, commutent entre eux. Cela signifie que leur commutateur est nul, soit :

[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ = 0 soit ÂB̂ = B̂Â

En d’autres termes, l’ordre des opérations de mesure n’a pas d’importance. Ainsi, si l’on mesure successivement les grandeurs A et B, l’état du système peut être décomposé de la façon suivante :

où les vecteurs {|an, bm ⟩} sont des états propres communs aux opérateurs  et B̂. Dans ces états, les deux grandeurs A et B sont simultanément bien définies, respecti-vement par les valeurs an et bm. Ces considérations se généralisent à un nombre quelconque d’opérateurs, ce qui permet de considérer des situations dans les-quelles plusieurs grandeurs sont simultanément bien définies, voire aussi néces-saires pour spécifier complètement l’état du système, si les mesures de A et de B ne l’ont pas permis.

L’un des principes fondamentaux de la mécanique quantique est que les gran-deurs position x et quantité de mouvement (ou impulsion) p sont incompatibles. En termes mathématiques, cela signifie que les opérateurs correspondants ne commutent pas entre eux. Cette situation s’exprime par la formule suivante :

En d’autres termes, il est impossible de trouver des vecteurs propres du type |x, p⟩ qui soient communs aux opérateurs x̂ et p̂, dans lesquels ces deux grandeurs sont simultanément bien définies. Cela signifie que la mesure de l’une de ces grandeurs perturbe nécessairement le spectre de valeurs possibles de l’autre. En effet, il découle de la relation de commutation que les spectres ∆x et